二面角的求法专题

二面角的求法 湖北武汉 甘 涛 一、思想方法 求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作(或找)出二面 角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种： 方法一(定义法) 方法一(定义法)即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图 1。 方法二(三垂线法) 方法二(三垂线法)在二面角的一个面上一点 P 棱及另一个面分别引垂线 PA、PB,连接 AB,根据三 垂线定理(或逆定理) ,∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图 2。 方法三(作垂面法) 方法三(作垂面法)作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平 面角(图 3 中 ∠MAN).

方法四(投影面积法)一个平面 α 上的图形面积为 S,它在另一个平面 β 上的投影面积为 S',这两 法四(投影面积法) 个平面的夹角为 θ,则 S'=Scosθ 或 cosθ= S . S /

方法五(异面直线法)如图 4 中，平面 α、β 相交成 θ 角，AC、BD 分别在 α、β 上，且与棱垂直.若 法五(异面直线法) AC=m,BD=n, CD=d,则有 AB =m +n +d -2mncosθ,故 cosθ= m 2 2 2 2 2

+ n + d AB 2mn 2 2

2

(1)

在已知二面角两个面上两点间距离(即|AB|)的情况下，可以用此公式来求 θ. 说明：原来的公式中 θ 理解为两异面直线间的夹角，只取锐角(或直角) ,故根据 A、B 的位置情况 2 2 2 2 公式是 AB =m +n +d ±2mncosθ.但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式(1).

l β 的两个半平面的法向量，其方向一个指 ur uu r n1 n2 r 向内侧，另一个指向外侧，则二面角 α l β 的平面角 α = arccos ur uu 。 . . | n1 || n2 | 二 、例题 ： (1 的大小； 例 1.在棱长为 1 的正方体 AC1 中， 1)求二面角 A B1 D1 C 的大小； ( (2)求平面 C1 BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 BD C 的平面角大小 解： (定义法)取 B1 D1 中点 O1 ,连接 (1) 新疆 王新敞 奎屯

方法六(空间向量法)如图 5,设 n1 , n2 , 是二面角 α 法六(空间向量法)

ur uu r

AO1 , CO1 , A1

D1

O1

C1 B1

∵正方体 AC1 ,∴ B1 D1 ⊥ AO1 , CO1 ⊥ B1D1 , 在 AOC 中， 可以求得 ∴ ∠AO1C 即为二面角 A BD C 的平面角， 1 1 , 6 AO1 = CO1 = , AC = 2 2 1 即二面角 3

D A B

C

cos ∠AO1C =

A B1D1 C 的大小为 arccos 1 . 3 A1

D1 B1

C1

(2) (三垂线法法)过 C1 作 C1O ⊥ BD 于点 O , ∵正方体

AC1 ,∴ CC1 ⊥ 平面 ABCD , ∴ ∠COC1 为平面 C1 BD 与平面 ABCD 所成二面角 C BD C 的平面角， 1

D O

C

可以求得： tan ∠COC1 = 所以，平面 C1 BD 与底面

2

A

B

ABCD 所成二面角 C1 BD C 的平面角大小为 arctan 2 .