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34数学通讯　　　　　　　　　　　　　2008第5期

球面上的几何性质

余金荣

(华中师范大学数学与统计学学院,湖北　武汉　430079)

中图分类号:O123.3　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2008)05-0034-02

　　对于复平面,我们构造一个一一映射,使复平面上的点能够在一个三维球面上被表示,数的球面几何表示[1].,.

为了讨论问题的需要,我们先引进一些定义和名词.

设两点z1,z2位于圆周K的两侧,并位于过圆心z0的同一条射线上,还满足|z1-z0| |z2-z0|=R,其中R为圆周K的半径,则称z1,z2关

2

iy=

,

1-u′

于是有

x′=

1+|z|

2

,y′=

2,

i(1+|z|)

2u′=.(其中|z|为向量OA)

1+|z|2

这样,在复平面C与S-{N}之间建立了一个双射(x,y,0)→(x′,

).并且,如y′,u′

～

于圆周K对称上的几何表示.

[1]

(如图1所示).

现在要作出复数在球面建立三维直角坐标系

O2xyu,在点坐标是(x,y,u)

果一点z的模愈大,即z离O点愈远,那么它的球极

射影就愈接近于球极N(如图2).称图2中的球

图1　对称点

图2　球极投影示意图

的三维空间中,把xOy平面看作就是z=x+iy复平面.

(0,0,1),称为北球极

[2]

面S为复球面[2].

我们通过建立三维直角坐标系构造复平面与复球面之间的一一映射,使复平面上的点的表示与复球面上的点的表示可以相互转换,那么是否在复平面上具有一定关系的两个点,将它们映射到复球面上时也具有相应的关系呢?我们下面的讨论正是为此展开的.

定理1　在复平面z中,设圆周C:|z-α|

=R,z1和z2关于圆周C对称,则z1和z2的球

～

考虑球面S :x2+y2+u2=1.取定球面上一点N

,其中S(0,0,-1)称为南

球极[2].作连接N与xOy平面上的任意一点A

(x,y,0)的直线,并且设这直线与球面的交点是(x′),它满足x′+y′+u′=1,那么A′,

y′,u′A′称为A在球面上的球极投影

[2]

222

(如图2).

(x′)及N(0,0,1)由于A(x,y,0),A′,y′,u′(-1)=x′(u′共线,我们有x∶y∶∶y′∶-1),从而

z=x+iy=

.

1-u

极投影点到圆周|z-α|=R的球极投影所在平面距离相等的充要条件是:

2

(1+|z1|2)(αz2+αz2+d+|z2|)+(1+

2

|z2|2)(αz1+αz1+d+|z1|)=0,

又因为

|z|

2

222=zz===,

(1-u′)2(1-u′)21-u′

其中d=|α|2-R2.

收稿日期:2007-12-10