三等分角、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题.通过对这三大问题的产生、研究与解决历程的学习可以增进学生对数学史的了解,从而增强学生对数学学习的兴趣.

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数学教学通讯 (师版 )教

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三大几何作图问题的产生、研究与解决 陈督武

浙江乐清白象中学

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在人类数学发展史上，等分角、三倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的

圆和方是几何中最常见的图形，一作

法，不符合公法的作图都被认为是不允凡 许的.

个正方形与已知圆等积是古希腊学者很容易想到的问题，即为化圆为方问题 .也 任意三等分角是由二等分角联想到的. 只有立方倍积问题的起源有许多传说 .其中最著名的是《拉图》柏中记载的一个神话故事：当年希腊提洛斯岛鼠疫流行 .一位先知自称得到神的谕示 .须将立方形必 的祭坛加倍但形状不变，疫方可停息.瘟

三大几何作图问题.《中数学课程标准高 (实验 )指出，决这类问题的思想方法》解不仅在数学上，且在人类的思想史上而都具有重大意义 .把“等分角与数域并三扩充”入选修系列 3的专题之一.新列中 课标还指出，过对三等分角问题的讨通论使学生了解解决这类问题的思想方法。能用此方法解决倍方问题和了解并仅用圆规直尺不能作正七边形等问题. 因此，了实现新课标所提出的要求，为让学生了解这三大几何作图问题产生、研究与解决历程是十分必要的.下文将就此内容展开叙述. 以上三大几何作图问题。是古希腊巧

20多年来， 00历代数学家为了解决这 三个问题，费了许多心血，都失败了.耗但 不过自从 1 3年笛卡儿创立了解析几何 67学之后，规作图的可能性就有了判定准尺则.1 3年万泽尔在研究挪威数学家阿 87贝尔定理的化简时 .明了6。不可能证 0角用尺规作图的方法加以三等分 .然后又证 明了“方倍积”可能用尺规作图来完立不

建筑工匠们很为难，知怎样才能使体积不

加倍，于是去请教哲学家柏拉图.柏拉图 说：真正的意图不在于神坛的加倍 .神而

成.事实上早在 1 3年，九岁的法国数 80十学家罗伽华就提出了解决三等

分角问题的系统理论和方法，用较高深的数学理并论证明了这一问题的不可能性 .只不过当时不为人所知罢了. 1 7年埃尔米特证明了e超越数 . 83是

是想使希腊人为忽视几何学而感到羞愧 . 由于这一传说 .方倍积问题亦称为提洛立 斯问题.

当时的古希腊人认为，几何作图只许

辩学派的学者们于公元前5世纪提出并进 行研究的几何学三大问题 .那时希腊数

用直尺和圆规 .是天经地义的.且在这并 此时的古希腊 .何学重在推理 .需要几不 在直尺上有刻度.因此 .元前三世纪成公

18年林德曼证明了1是超越数.而 82 T也从 “圆为方”不可能性也得以确立.变的 1 9年克莱因总结了前人的研究成果， 85给出三大几何问题不可能用尺规作图的简

学经过希腊波斯战争 (元前 50前公 o一 4 9后进人繁荣的雅典时期，派林立， 4 )学 主要有智人学派、拉图学派、里士多柏亚

书的《几何原本》规定直尺的用法是：①从 任意一点到另一点可用于作直线 (用没有

明证法，而彻底地解决了这三个古老的从问题 .于是对这三个问题旷日持久的讨 论和研究热潮在2世纪的曙光来临之前 0 就已尘埃落定 .

德学派和伊利亚学派 .其中以希比阿司、 安提丰为代表人物的智人学派因提出并致力于研究三大问题而著称于世.

刻度的直尺 );②线段可以延长；以任意③ 点为中心及任意长为半径可作圆 (圆用

规 )上规定通常称为尺规作图的公 .以

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