衡水市第二中学

高一数学学案

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第1章 第2节 分段函数与映射 (第 2 课时，共 2 课时)

命制：李素娟 校对：孙良胜 审核：刘春维

一、分段函数 例 1.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1) 乘坐汽车 5 公里以内，票价 2 元； (2) 5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) . 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设 20 个汽 车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以 行车里程只能取整数值. 解：设票价为 y 元，里程为 x 公里，同根据题意， 如果某空调汽车运行路线中设 20 个汽车站(包括起点站和终点站) ,那么汽车行驶的里程约为 * 19 公里，所以自变量 x 的取值范围是{x∈N | x≤19}. 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：

2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ ○ 实践与拓展： 请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价. (可以实地 考查一下某公交车线路) 说明：象上面两例中的函数，称为分段函数. 注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 二、映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“ f :A→B” 说明： (1)这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 f 表示具体 的对应法则，可以用多种形式表述. (2) “都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思. 例 2.下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？ (1)A={ P | P 是数轴上的点},B=R,对应关系 f :数轴上的点与它所代表的实数对应； (2)A={ P | P 是平面直角坐标中的点}, B ( x, y) | x R, y R , 对应关系 f :平面直角坐 标系中的点与它的坐标对应； (3)A={三角形},B= {x | x是圆 }, 对应关系 f :每一个三角形都对应它的内切圆； (4)A={ x | x 是新华中学的班级}, B x | x 是新华中学的学生 , 对应关系 f :每一个班 级都对应班里的学生.

思考：将(3)中的对应关系 f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形； (4)中的对应关系 f

2 3 y 4 5

0 x 5 5 x 10 * (x N ) 10 x 15 15 x 19

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

y 5 4 3 2 1 O 5 10 15 19 x

改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应 f :B→A 是从集合 B 到集合 A 的映射吗？ 例 3.在下图中，图(1) , (2) , (3) , (4)用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则， 是不是映射？是不是函数关系？

注意： 1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○