Yuan[15]提出了修改的PRP共轭梯度方法,该方法能保证参数kβ非负且搜索方向在不需要任何线搜索下具有充分下降性。作者也将此技术推广到其它共轭梯度方法中,并给出了修改的公式,但是没有给出具体的收敛性证明。本文的主要工作就是分析修改的DY和HS共轭梯度方法的性质：充分下降性和全局收敛性,同时给出数值检验结果。

Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 1-7

doi:10.4236/pm.2011.11001 Published Online April 2011 (www.1mpi.com)

Modified DY and HS Conjugate Gradient Algorithms

and Their Global Convergence

Xiangrong Li

College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning

Email: xrli68@163.com

Received: Mar. 12th, 2011; revised: Mar. 20th, 2011; accepted: Mar. 21st, 2011.

Abstract: Yuan[15] proposed a modified PRP conjugate gradient method which can ensure that the scalar βk≥0 holds and the search direction possesses the sufficient descent property without any line search. This technique has been extended to other conjugate gradient methods, but the convergence has been not given. In this paper, our purpose is to analyze the property of DY and HS: sufficient descent property and global con-vergence, moreover numerical results are shown.

Keywords: Conjugate Gradient Method; Sufficient Descent Property; Global Convergence

修改的DY和HS共轭梯度算法及其全局收敛性

李向荣

广西大学数学与信息科学学院，南宁

Email: xrli68@163.com

收稿日期：2011年3月12日；修回日期：2011年3月20日；录用日期：2011年3月21日

摘 要：Yuan[15]提出了修改的PRP共轭梯度方法，该方法能保证参数βk非负且搜索方向在不需要任何线搜索下具有充分下降性。作者也将此技术推广到其它共轭梯度方法中，并给出了修改的公式，但是没有给出具体的收敛性证明。本文的主要工作就是分析修改的DY和HS共轭梯度方法的性质：充分下降性和全局收敛性，同时给出数值检验结果。

关键词：共轭梯度方法；分下降性；全局收敛性

1. 引言

求解下述问题

gk+βkdk 1,k≥1,dk= (1.2)

0, gk,k=

minf(x)

x∈ (1.1)

n

其中βk∈ 是一个参数，根据βk的选取不同而称为不同的共轭梯度法，下面我们给出几个著名的βk的选取方法：

T

gk+1(gk+1 gk)

其中f(x)连续可微。共轭梯度法拥有结构简单且效果明显的性质常被用于求解此问题，该方法采用下面的迭代公式

β

xk+1=xk+αkdk,k=0,1,2,

PRP

k

=

gk

2

,[1,2], β

FRk

=

Tgk+1gk+1

gk

2

,[3],

xk是第k次迭代点，αk>0是步长，dk是具有下面定

义形式的搜索方向

β

CD

k

T

Tgkg

=+1Tk+1,[4], βLS=gk+1(gk+1 gk),[5]

kT dkgk dkgk

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